Коллеги — педагогический журнал Казахстана


Бесплатная юридическая консультация:

Учитель начальных классов: Музапарова Ж.С. Алматинская обл., Илийский р-н, п.Чапаево, сш№10

Математика в 4 классе на тему: «Работа , производительность , время».

Оглавление:

Цель урока: • Сформировать представление о величине «производительность», выявить зависимость между величинами: объемом выполненной работы (А), производительностью (V) и временем (t), сформировать способность к построению формулы работы А=v×t. • Формировать умение находить по формуле работы v и t и использовать формулу работы для решения задач. • Совершенствовать вычислительные навыки. • Развивать коммуникативные навыки. • Показать какова польза обществу от высокой производительности труда. (Слайд 1) Задачи: 1. Познакомить с понятиями «производительность», «время работы», «работа»; 2.Установить взаимосвязь между этими величинами; 3.Вывести формулу работы А = V х t Ожидаемый результат: 1.Учащиеся познакомятся с понятиями «Работа, производительность, время» во взаимосвязи. 2. Научатся применять формулу 3. Научатся самореализовываться в группе . Ключевые идеи: Осознание важности производительности его труда в любом виде деятельности, как одного из источников развития общества в котором он живет. Используемые модули: Новые подходы в преподавании и обучении. Обучение критическому мышлению. Оценивание для обучения и оценивание обучения. Тип урока: урок изучения нового материала. Формы работы: индивидуальная, парная, групповая. Оборудование: интерактивная доска, учебник «Математика 4 класс Алматыкiтап 2012». карточки с заданиями, листы оценивания Ход урока I. Орг. момент (1 мин) Психологический настрой (Слайд 2) Повернитесь все друг к другу, И пожмите руки другу. Руки вверх все поднимите, И вверху пошевелите. Скажем весело: «Ура!» Нам урок начать пора! Вы друг другу помогайте, На вопросы отвечайте. II. Проверка домашнего задания. (2 мин) №6 стр. 107 (Слайд 3) Взаимооценивание в парах ( на полях указать количество ошибок.) III. Актуализация опорных знаний, умений и навыков. (2-3 мин) 1.Откройте тетради. Запишите. Дату: 4 декабря Классная работа ( Слайд 4) 2.Минутка чистописания. –Сегодня четвертое, давайте на минутке чистописания пропишем это число. — Что можете сказать об этом числе? — Запишите число, в котором 4 единицы 2 класса (4000) Прописать строку. — Запишите число, в котором 4 единицы 3 класса () Прописать строку. IV. Постановка цели занятия перед учащимися. (3-4 мин) (слайд 5) 1.Вступительное слово о прошедшем празднике. — Какой праздник отмечала вся страна 1 декабря? День Президента – День первого Президента.

В этот день, 1 декабря 1991 года, в судьбоносные для Казахстана дни, впервые состоялись всенародные выборы, в ходе которых Президентом Казахстана был избран Нурсултан Назарбаев – основатель суверенного Казахстана. За него проголосовало 98,78% от числа избирателей, принявших участие в выборах.

Эта победа была знаком высочайшего доверия . Ребята, как вы думаете, почему Н. Назарбаева люди выбрали президентом? Что вы знаете из его биографии? — Всю свою жизнь Н.Назарбаев работал и работает на благо государства . Ваша задача на данном этапе учиться. А зачем? (ответы детей). V. Организация восприятия и осмысления новой информации. (2 мин) (слайд 6) Индивидуальная работа. — Перед вами карточки с заданиями. Проведем «Блиц- турнир». Сколько заданий вы успеете выполнить за одну минуту. Таймер. 1. Вычисли, чему равен периметр квадрата со стороной 60 см. 2. Чему равен периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 7см? 3. Вычисли периметр треугольника со сторонами 30 см,40см,50см. 4. Вычисли размер стороны квадрата, периметр которого равен 48 см. 5. Вычисли размер длины прямоугольника, периметр которого равен 30 см и ширина равна 5 см. 6. Вычисли площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 4 см. 7. Чему равна ширина прямоугольника, если площадь его 45 кв.см, а длина – 9 см?


Бесплатная юридическая консультация:

— Минута закончилась, проверьте правильность решения. Поставьте + или – за решение (Слайд 7)

VI. Первичная проверка понимания. (3 мин) (Слайд 8) -Сколько заданий за 1 минуту выполнили? -А сколько бы вы выполнили за 40 минут, если бы решали весь урок аналогичные задания? ( 3 х 40=120 (з.); 4 х 40= 160 (з) и т. д.)

-Что такое 40 минут? (Время выполнения задания) — Что обозначает число 3? (Количество заданий, выполняемых за 1 минуту) -А что обозначает число 120? ( Количество заданий, которое можно выполнить за урок) Открытие детьми нового знания. (4-5 мин) — Как вы думаете, над чем нам сегодня предстоит работать? (будем учиться находить время работы, кол- во заданий и всю работу)

— В математике существуют понятия: работа, время работы и производительность. — А как вы понимаете слово «производительность»? ( это объем работы, выполненной за единицу времени)

-В случае с заданиями на «Блиц- турнире» что будет являться производительностью труда? (кол-во заданий, которые выполнили за 1 мин.)


Бесплатная юридическая консультация:

-Одинаковой ли была производительность у каждого из вас? (она разная)

-Когда умножали производительность своего труда на время 40 мин., что вы получили? (кол-во заданий, которое можем выполнить за весь урок, объем всей работы)

-Почему объем работы оказался разным у разных учеников? (потому что разная производительность труда) Итак, производительность — это работа, выполненная за единицу времени. Обозначим всю выполненную работу буквой А, производительность — буквой V, а время работы — буквой t. (слайд 9)

VII.Творческое применение знаний. (10 мин) Для дальнейшей работы нам необходимо создать группы. (Деление на группы. У детей карточки с геометрическими фигурами, где фигуры поделены на части. Некоторые части фигур закрашены). Создание групп, перемещение детей – является своего рода физминуткой. — возьмите в руки карточки — что изображено на них? -назовите дроби, обозначающие закрашенную часть? — а теперь встаньте те у кого числитель равен восьми?(1 группа) шести? (2 группа) четырем? (3 группа) двум? (4 группа) (Дети разделились на 4 группы, заняли свои места ). (Слайд 10 мультфильм о Силе Единства) Повторить правила работы в группах.

1. Работать дружно, быть внимательными друг к другу, вовремя оказывать помощь. 2. Распределить обязанности в группе, слушать всех участников группы. Прийти к общему решению. 3. Работать по плану, следить за временем, доводить начатое дело до конца. 4. Научись сам и научи другого. Все в группе должны понять правильное решение.


Бесплатная юридическая консультация:

А теперь я попрошу одну группу стать наблюдателями в трех других группах. Раздать листы оценивания. — Решим задачу. В каждой группе по одной задаче. Учащиеся сначала решают самостоятельно, затем обсуждают решение в парах. 3 группы решают, а 1 группа является наблюдателями и оценщиками. Оцениваем в 3 балла. Задача 1 группы. Петя за 8 минут читает 720 слов. Сколько слов он прочитает за 1 минуту? Задача 2 группы. Скорость чтения Пети 90 слов в минуту. Сколько слов он прочитает за 8 минут? Задача 3 группы. Скорость чтения Пети 90 слов в минуту. За какое время он прочитает 720 слов? (Слайд 11)

Ребята, вы решили задачу, а теперь по своему решению попробуйте составить формулу нахождения единицы. (в группах) Давайте вспомним, производительность — это работа, выполненная за единицу времени. Вся выполненная работа обозначается- буквой А, производительность — буквой V, а время работы — буквой t. Ученики выводят формулы: A=V*t Это равенство называется формулой работы. Оно означает, что работа равна производительности, умноженной на время работы. V=A:t и t=A:V Стратегия мозаичного обучения. Выбирают по 2 человека из одной группы для объяснения выведения формул в других группах. Оценщики должны оценить их.

Выведенные формулы записываются на доске. Давайте проверим ваши формулы ( Слайд 12)

VIII. Работа над изученным материалом. (7-8 мин) — Ну а теперь нам предстоит, как будущим помощникам Президента, поработать в различных сферах деятельности правительства для того, чтобы понять, что если наше правительство всегда будет работать сплоченно и центром будет Президент, то наше государство всегда будет единым целым. Итак, первая группа будет решать вопросы в области строительства, вторая в области с/х, третья будут решать вопросы образования, четвертая -вопросы благоустройства города.

Задачи: 1. В Астане строят 4 восьмиэтажных жилых дома. На каждом этаже будет по 9 квартир. Из всех квартир однокомнатных 128, двухкомнатных 96, а остальные трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир?


Бесплатная юридическая консультация:

2. Фермер вырастил 500 кг картофеля для продажи. На ближнем рынке цена за 1кг картофеля 50 тенге, а на рынке в районном центре 70 тенге за 1 кг. Но доставка картофеля в районный центр обойдется фермеру в 1000 тенге. Где выгоднее фермеру продать картофель?

3. Для двух классов купили 120 учебников в одинаковых пачках. Один класс получил 3 пачки, а другой – 5 пачек. Сколько учебников получил каждый класс?

4. Один экскаватор за 7 часов выкапывает 133 м канавы, а другой экскаватор за 19 часов выкапывает 342 метра канавы. Какой экскаватор выгоднее приобрести, если цена на них одинаковая?

Группы выступают с объяснением своей задачи. IX. Домашнее задание. (1 мин) Стр.108 № 2-задачи, формулы.

X. Подведение итогов урока. (4-5 мин) (Слайд 13) Рефлексия. Ребята по кругу высказываются, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске: 1. сегодня я узнал… 2. было интересно… 3. было трудно… 4. я выполнял задания… 5. я понял, что… 6. теперь я могу… 7. я почувствовал, что… 8. я приобрел… 9. я научился… 10. у меня получилось … 11. я смог… 12. я попробую… 13. меня удивило… 14. урок дал мне для жизни… 15. мне захотелось… Оценивание . (оценщики по листам оценивания) Выставление оценок за урок. (Слайд 14) Спасибо за урок!


Бесплатная юридическая консультация:

Лист оценивания (в 3 балла) (Слайд 15) № Имя Активность Умение сотрудничать Учет времени Правильность изложения Д\п. кр. Итог 6

Источник: http://collegy.ucoz.ru/load/

Формула работы

Цели:

  • сформировать представление о величине «производительность», выявить зависимость между величинами: объем выполненной работы (А), производительность (V) и время (t), построить формулу работы А = V * t, V = A : t, t = A : V.
  • повторить и закрепить решение примеров на порядок действий, соотношение между единицами дины, времени, массы.

I.

– Кто из Вас знает, кем работают ваши родители и на каком предприятии они трудятся? – А кто из Вас знает пословицы о труде?


Бесплатная юридическая консультация:

  • Работа силушку копит, а лень ее топит.
  • Под лежачий камень вода не течет.
  • Трудолюбив, как муравей.
  • Не спеши языком, торопись делом.
  • Кто мало говорит, тот много делает.
  • Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
  • Рабочие руки не знают скуки.
  • Дело мастера боится.
  • Всякое умение трудом дается.
  • Без труда нет добра.
  • Без труда день годом станет.
  • Горька работа, да сладок мед.

II. Актуализация знаний

(На доске таблица и формулы. Дети придумывают задачи и решают устно)

– Найдите среди формул те, которые показывают, как найти неизвестные значения пути, скорости и времени. (Формулы выставляются на доске и комментируются) – А зачем вообще нужны формулы? (Показывают, как решать похожие между собой задачи). – Подберите формулы для решения первой задачи. (S = V * t) – Придумайте по этой формуле задачу, аналогичную первой задачи. – Запишите формулу, подходящую к задаче: «Один всадник проскакал 70 км за 2 ч, а второй – 90 км за 3 ч. Какой из них скакал быстрее?» (V = S: t) – Решите эту задачу, пользуясь формулой. (1. 70 : 2 = 35 (км/ч) – скорость первого всадника. 2. 90 : 3 = 30 (км/ч) – скорость второго всадника. 3. 35 км/ч > 30 км/ч => 1 всадник скакал быстрее)

III. Постановка проблемы

– Подберите формулу к задаче: «Один мастер сделал 2 детали за 4 часа, а второй – 21 деталь за 3 часа. Кто из них работал быстрее?» (Подходящей формулы среди данных нет) – Сформулируйте цель урока – установить, какие величины описывают процесс выполнения работы, и установить взаимосвязь между ними. – Тема урока – Формула работы.

Бесплатная юридическая консультация:

IV. «Открытие» детьми нового знания.

– О каких величинах идет речь в последней задаче – о площади, объеме, пройденном пути? (Нет. В задаче говориться о количестве деталей, сделанных рабочими, о скорости и времени их работы). – Как найти скорость работы мастеров? (Надо количество сделанных деталей разделить на время работы). – Скорость работы называют производительностью и обозначают (V), всю выполненную работу – А, время работы – t. – Попробуйте установить взаимосвязь между этими величинами. (А = V * t, V = A : t, t = A : V) – Теперь, зная формулу работы, давайте решим задачу.

V = A : t 1. 24 : 4 = 6 (дет./ч) – производительность первого мастера. 2. 21 : 3 = 7 (дет./ч) – производительность второго мастера. 3. Второй мастер работал быстрее.

Практическая работа на производительность

– Решите устно в течение 2 минут следующие уравнения.


Бесплатная юридическая консультация:

9 + х = 12 х – 27 = 8 5 * х = 25 8 * х =: х =: х = 7 40 – х = 12 х : 19 =+ х =: х = 5 34 – х = 17 х – 36 = 15 х * 50 =+ х = 110 х – 25 = 118

– Давайте проверим количество правильных ответов и вычислим производительность каждого из вас. – Как это сделать? (Количество верных ответов разделить на 2). – А какая у вас производительность за урок? (То что получилось умножить на 45 минут).

Закрепление понятия «производительность»

  • С. 44, №1

V. Первичное закрепление

  • С.44, №2
  • С. 44, №3
  • С.44, №4 (а)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону


Бесплатная юридическая консультация:

  • С.44, №4 (б).

VII. Закрепление пройденного

  • С.45, №10 (а)

VIII. Итог

– Что сегодня на уроке было самым интересным? – Что сегодня на уроке было главным? – Где нам могут пригодиться эти знания? – Какую поговорку выберем своим девизом?

IX. Домашнее задание

  • С.44, №5 и №7

Источник: http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/551856/


Бесплатная юридическая консультация:

Презентация к уроку по математике на тему: Тема урока: «Производительность. Взаимосвязь работы, времени и производительности».

Презентация к уроку.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Урок математики 4 класс УМК «Школа 2100»

Работа в группах

Тема урока : «Производительность. Взаимосвязь работы, времени и производительности». Цель урока: Сегодня мы узнаем …. Сегодня мы будем учиться…

Задачи для групп. 1. Для украшения поселковой новогодней ёлки каждая команда сделала по 36 фонариков. Первая команда сделала эти фонарики за 2 часа, вторая команда за 3 часа, третья команда за 4 часа. Чья команда работала быстрее? Кто делал за час большее число фонариков?


Бесплатная юридическая консультация:

2. Для украшения класса 3 команды вырезали снежинки. Первая команда вырезала 40 снежинок за 8 минут, вторая команда 60 снежинок за 10 минут, а третья команда 50 снежинок за 5 минут. Как узнать, кто работал быстрее – первая, вторая или третья команда? У кого из них производительность больше?

РАБОТА (А) ВРЕМЯ ( t ) ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ( v )

Чтобы найти производительность, надо всю выполненную работу разделить на время. v = А : t

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Определите: а ) производительность бульдозериста, если он за 2 часа очистил 180 м² площадки для катка; б) производительность кондитера, если он за 3 часа сделал 150 кг конфет; в) производительность фасовщика, если он за 2 дня сделал 180 подарков.

а) 180 : 2 = 90 м²/ч б) 150 : 3 = 50 кг/ч в) 180 : 2 = 90 п./д. Самопроверка Оцените свою работу. *** — правильно выполнено 3 задания; ** — 2 задания; * — выполнено, верно, только 1 задание.


Бесплатная юридическая консультация:

На схеме единичный отрезок равен производительности снегоуборочной машины. 20 м/ч ?м Сколько часов работала машина? Сколько метров она очистила от снега за 1 час? 2 часа? 3 часа? за всё это время? Как узнать, чему равна выполненная работа, если известны производительность и время?

Выполненная работа равна производительности, умноженной на время работы. А= v · t

На швейной фабрике шьют новогодние костюмы. Производительность фабрики – 60 костюмов в день. С помощью таблицы определите, сколько новогодних костюмов можно сшить за указанное время. Производительность (к./д.) 60 Время работы (д.) 6 Выполненная работа (к.) ? 360

На схеме единичный отрезок равен производительности бригады строителей снежного городка за 1 неделю. Через сколько недель бригада построит городок? 2 здания 12 зданий t = ?

Чтобы найти время работы, надо работу разделить на производительность. t = А : v


Бесплатная юридическая консультация:

Как связаны между собой производительность , время и работа? Памятка производительность – v работа — А время — t v = А : t А = v · t t = А : v

Итог урока: — Сегодня на уроке я узнал ….. — Сегодня на уроке я научился … Мои знания Работа всей группы Моя работа в группе Работа учителя Поставьте снежинки: *** — отлично ** — хорошо * — ещё надо поработать

Придумайте самостоятельно задачу, в которой надо найти производительность, если известны работа и время. Подумайте , в каких ещё единицах может быть измерена производительность .

Спасибо за работу.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Памятка создана для работы на уроках математики в 4 классе при изучении темы «Скорость. Взаимосвязь скорости, времени и расстояния». На начальном этапе введения параметрического представления данных з.


Бесплатная юридическая консультация:

На основе наблюдения и сравнения окончаний глаголов в прошедшем времени сделать вывод об изменении глаголов прошедшего времени по родам.

Сценарий урока атематики с использованием программы MIMIO.

Тема урока. Изменение глаголов по лицам и числам в настоящем и будущем времени (спряжение глаголов) Цели предметные: Ø уточнить и обобщить сведения о глаголе, познакомить с изменением.

Тема: § 2.27. Производительность. Взаимосвязь работы, времени и производительности(Урок введения нового знания)Форма проведения: групповая с элементами самостоятельной работы.Педагогическая цель.

Цель:создавать условия формирования представления о сложении в строчку и столбиком;закрепить вычислительные умения и навыки при решении примеров;совершенствовать навык решения текстовых задач;развиват.

Источник: http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2016/10/09/tema-uroka-proizvoditelnost-vzaimosvyaz-raboty-vremeni-i


Бесплатная юридическая консультация:

Задачи на работу. Начальный уровень.

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени:

Задачи на совместную работу

При совместной работе производительности складываются.

Для начала рекомендуем тебе освоить раздел «Задачи на движение». Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Основная формула

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:


Бесплатная юридическая консультация:

Или, если записать математическим языком:

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Или скорость выполнения работы. Вася решает задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:


Бесплатная юридическая консультация:

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Пример 1.

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение.


Бесплатная юридическая консультация:

  1. Нам известно, что всего деталей . Это вся работа ( ). И на эту работу первый рабочий тратит на часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит часов, а второй – часов.
  2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность . И у второго рабочего она больше на детали в час. То есть производительность первого рабочего , а у второго .
  3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени , то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений. Производительность первого рабочего — , а второго — . Мы получили систему уравнений: Решим её: Почему мы выражаем ? Потому что нас интересует производительность , а находить нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений». По теореме Виета: Очевидно, что производительность не может быть меньше , поэтому . Это как раз то, что мы искали.

Альтернативный (продвинутый) способ решения. Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы. Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть (работа), а нужно найти (производительность). Так давай сразу выразим время! Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой. Сколько на нее протратит первый? Вся работа – это деталей, а делает он деталей в час: . А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что , то за часов. Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на часа больше, чем второй. Значит, второму придется еще часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени: , или . Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Ответ: .

Пример 2.

Первая труба пропускает на литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем первая?

Решение.


Бесплатная юридическая консультация:

У нас есть объем работы ( литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть .

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы – .

За сколько минут первая труба заполнит резервуар? . А вторая?

Выражаем во втором уравнении и приравниваем:

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

Чтобы проще было извлекать корень, разложим на множители:

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый равен .

Ответ:

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Пример 3.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает литров в час, а первая литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает литров в час, а вторая литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом литров, работая вместе?

Решение.

Чему равна производительность первой трубы? литров в час. А второй? .

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что . Ведь за час первая труба нальет литров, и за этот же час вторая нальет литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

Ответ:

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на часов меньше, чем второй?

Решение.

Примем всю работу за (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за часов.

Производительность первой бригады, таким образом: , а второй — .

То есть их общая производительность была .

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за часов. То есть:

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти :

По теореме Виета:

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за часов, если работала в одиночку.

Ответ: .

Пример 5.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за дня делает столько же, сколько второй за дней?

Решение.

Обозначим за и – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за . Нам нужно найти .

Тогда по условию задачи:

Кроме того, в условии сказано, что за дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за дней, то есть:

Составим и решим систему:

Подставим из второго уравнения системы в первое и решим его:

Нам нужно найти . Так выразим его!

Ответ: .

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6.

На изготовление деталей первый рабочий тратит на часов меньше, чем второй рабочий на изготовление таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на деталей больше?

Решение.

  1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят деталей, то есть: .
  2. Значит нужно найти и . Первый рабочий за час делает на деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – .
  3. деталей первый рабочий делает за часов, а таких же деталей второй рабочий делает за часов. То есть: . Приравняв , получаем уравнение: . По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант: .
  4. Производительность первого рабочего – деталей в час, а второго – деталей в час. Значит их общая производительность деталей в час. И партию на деталей они изготовят за часов.

Ответ:

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

  1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
  2. Автоматизированная мойка обслуживает машин на часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за час на автомобилей больше, чем ручная?
  3. Первая труба пропускает на литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом литров?
  4. На изготовление деталей мастер тратит на часов меньше, чем ученик на изготовление таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на деталей в час больше?
  5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за дней делает столько же, сколько первый за дня?
Ответы:

Ты уже освоил тему «Задачи на движение»? Задачи на работу – это то же самое.

Источник: http://youclever.org/book/zadachi-na-rabotu-1

Производительность

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел , вызывать их движение , менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

  • ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;
  • на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;
  • далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.

Что такое работа?

Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.

Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной латинской буквой A.

Производительность

Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v

Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Также, можно воспользоваться формулой:

где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.

Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут

40 : 10 = 4 булочки в минуту

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5

15 : 5 = 3 булочки в минуту

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:

Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.

Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть на это 4 часа?

Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4

12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день

Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из всех общего количество страниц ( 100 ) количество прочитанных страниц ( 48 )

100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть

Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну

52 : 4 = 13 страниц в час

Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.

Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность» и т.д.

Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 ведёр воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.

Решение

Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:

158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос

169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос

Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.

Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.

Решение

Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров

80 : 2 = 40 литров в час

За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше

40 × 5 = 200 литров

Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.

Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:

A = v × t

Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)

50 × 4 = 200 булочек

Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:

Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):

Либо с помощью формулы, приведенной выше:

Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.

Задача 6. Принтер работает с прозводительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?

Решение

Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:

70 × 5 = 350 страниц

Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:

A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц

Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?

Решение

Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал . То есть, работал с производительностью 70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./ч.

Либо с помощью формулы нахождения производительности:

Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.

Решение

Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал

Либо с помощью формулы нахождения времени:

Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?

Решение

Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:

48 + 12 = 60 страниц во второй день.

Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:

48 + 60 = 108 страниц за два дня.

На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:

108 : 9 = 12 страниц в час.

Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:

48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день

60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.

Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?

10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:

10 : 5 = 2 примера в минуту.

Производительность Джона равна двум примерам в минуту.

Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?

Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.

Итак, обозначим выполненную работу через единицу:

Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:

Дробь выражает часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2

Выражать выполненную работу через единицу часто приходиться при решении задач на совместную работу.

Задачи на совместную работу

Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?

В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.

Для начала определим производительность первого мастера:

64 : 2 = 32 дет./час

Определим производительность второго мастера:

72 : 3 = 24 дет./час

Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть, сложим их производительности:

32 дет./час + 24 дет./час = 56 дет./час

Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56

336 : 56 = 6 часов

Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?

Решение

В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.

В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.

Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:

Производительность первого мастера будет выражаться дробью . То есть, за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:

А производительность второго мастера будет выражаться дробью . То есть, за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:

Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:

это дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть, за одну минуту мастера вместе покрасят часть забора.

Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью

Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.

Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?

Решение

Обозначим всю работу через единицу

Тогда первый рабочий за один час может выполнить часть работы, а второй рабочий часть работы. А вместе за один час они могут выполнить часть работы

Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:

Остальную часть работы, а именно работы заканчивал один второй рабочий:

Второй рабочий за один час мог выполнить часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся часть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.

Переменная A теперь равна , переменная v —

Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.

Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.

Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение

Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу

Тогда первая труба за один час выполнит часть работы, а вторая труба — часть работы. Работая вместе за один час они выполнят часть работы:

Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:

2,4 это два целых часа и четыре десятых часа

А четыре десятых часа это 24 минуты

60 мин. × 0,4 = 24 мин.

Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.

Задачи для самостоятельного решения

Решение

Обозначим работу через единицу:

Тогда первая бригада за один час выполнит часть работы, а вторая за один час часть работы. Их общая производительность равна сумме дробей и :

Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:

Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.

Решение

Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

Тогда производительность лошади будет выражаться единицей, производительность коровы — дробью , производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:

Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за суток или 16 часов.

Решение

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться часть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна части сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.

В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь больше, чем .

Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей части вычтем ту часть, которая вытекает:

Каждую минуту сосуд будет наполняться на .

Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:

Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.

Решение

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:

Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражаться дробью , через вторую трубу — дробью . Совместная производительность будет выражаться дробью

Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь является ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполниться через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение , а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:

Ответ: за один час заполниться часть бассейна.

Решение

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:

В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:

Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.

Решение

Для удобства переведем время данное в задаче в секунды

6 мин 40 с = 400 с 8 мин = 480 с 13 мин 20 с = 800 с

Обозначим заполнение ванны через единицу:

Производительность первого крана будет выражаться дробью , производительность второго крана — дробью . Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей и

Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражаться дробью .

С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.

Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:

Ванна наполниться за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:

Ответ: ванна заполниться за 5 мин.

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Источник: http://spacemath.xyz/proizvoditelnost/

Урок математики «Работа, производительность, время»

Конспект урока по математике

Класс: 4

Тема: «Работа, производительность, время»

Цели: 1. Образовательная: познакомить с понятиями «производительность», «время работы», «работа»; установить взаимосвязь между этими величинами; вывести формулы. 2. Развивающая: способствовать развитию навыков устного и письменного счета, интереса к математике, внимания, логического мышления. 3.Воспитательная: выработка четкости и аккуратности в вычислениях, формулировках и записях; Воспитывать культуру математической речи.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: учебник, карточки с устным счетом, карточки с формулами, карточки с задачами, карточки для рефлексии,

Просмотр содержимого документа «урок математики «Работа, производительность, время»»

Конспект урока по математике

Тема: «Работа, производительность, время»

Цели: 1. Образовательная: познакомить с понятиями «производительность», «время работы», «работа»; установить взаимосвязь между этими величинами; вывести формулы. 2. Развивающая: способствовать развитию навыков устного и письменного счета, интереса к математике, внимания, логического мышления. 3.Воспитательная: выработка четкости и аккуратности в вычислениях, формулировках и записях; Воспитывать культуру математической речи.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: учебник, карточки с устным счетом, карточки с формулами, карточки с задачами, карточки для рефлексии,

Долгожданный дан звонок

Постарайтесь все понять,

Учитесь тайны открывать,

Ответы полные давать,

Ни минуты не терять!

Чтоб за работу получать

Только лишь отметку «пять».

II. Актуализация знаний учащихся

(один ученик выполняет у доски)

Критерии выставления оценок:

«2» – 5 и более ошибок

– Что интересного заметили в ответах? (Все числа трехзначные, круглые, кратные 2,4,5,8,10).

– Расположите ответы в порядке возрастания.

– Что мы называем формулой? (Формулой мы называем равенство, которое помогает нам установить зависимость между величинами).

2. Решение задач

На листочках даны задачи каждому ученику.

Избушка на курьих ножках за 8 часов пробежала 72 км. С какой скоростью бегает избушка?

Кощей Бессмертный проехал на Змее Горыныче 180 км. Сколько часов они были в пути, если средняя скорость Змея Горыныча 90 км/ч?

Иван-царевич шёл тропинками нехожеными 6 часов со скоростью 6 км/ч. Какова длина тех тропинок?

Сравните свое решение с правильным. (на доске вывешиваются ответы)

Что общего в задачах , которые вы решали? (Задачи на движение)

Какими формулами вы пользовались в решении данных задач? (на доске вывешиваются формулы скорости. Времени. Расстояния).

Как найти расстояние? S = V * t

Как найти скрость? V = S : t

Как найти время? t = S : V

III. Постановка проблемы

– А сейчас я вам предложу «вкусную задачу». «На масленицу Маша напекла гору вкусных блинов. Маша выпекала их в несколько приемов. В начале, она выпекала 3 блина в минуту. Сколько блинов приготовила Маша, работая 20 минут».

– Подберите формулу к задаче.

– Чем эта задача отличается от тех, которые мы решали сейчас. (Задачи были с известными величинами: время, скорость и путь. А в этой задаче не все величины знакомы, знаем только время).

– Почему возникли затруднения? (Новые величины, нет формул).

IV. Открытие детьми новых знаний

Как же назвать эту формулу?

– Что нужно найти в задаче? (Сколько всего блинов испекла Маша т.е. её работу).

Эта формула называется «ФОРМУЛА РАБОТЫ».

– О каких величинах ещё идет речь? (Выпекала 3 блина в минуту, т.е. скорость работы).

– Скорость работы называют «ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ». Обозначим эту величину буквой «V».

– Что еще известно в задаче? (Время работы).

– О какой величине идет речь? (О времени).

– Какой буквой обозначается эта величина? («t»).

Источник: http://kopilkaurokov.ru/nachalniyeKlassi/uroki/urokmatiematikirabotaproizvoditielnostvriemia


© Copyright 2019, mehovaja-fabrika.ru. Все права защищены.
×
Юридическая консультация онлайн